אתר מורי פיזיקה - עמוד הבית

• פרופ' דן שכטמן גילה משהו שהעולם סירב להאמין לו, הארץ, 26.3.11

• Penrose tiling, Wikipedia
• Aperiodic tiling, Wikipedia

לפני מספר שבועות בישרה ועדת פרסי הנובל על זכייתו של פרופסור דן שכטמן מהטכניון בפרס נובל לכימיה לשנת 2011. גם אנחנו, כמובן, מצטרפים לברכות.

אז מה בעצם גילה פרופסור שכטמן?

בשנת 1982 היה פרופסור שכטמן בשנת שבתון במשרד האמריקאי הלאומי לתקנים שבוושינגטון, ארה"ב. בעזרת מיקרוסקופ אלקטרונים הוא בחן גביש שהפיק וגילה שמבנהו מורכב מעשר נקודות מסודרות במעגל, מסביב לנקודה מרכזית. שכטמן הבין שהתבנית שלפניו היא בלתי אפשרית על פי חוקי מדע הגבישים, הקריסטלוגרפיה.

איור 1: תמונת הפיזור שראה שכטמן תחת המיקרוסקופ האלקטרוני
התמונה מתוך אתר ויקיפדיה

מדע הגבישים המודרני החל בשנת 1912 , כאשר הועברו לראשונה קרני רנטגן דרך גביש. הנחה בסיסית במדע זה הייתה שבמוצקים גבישיים האטומים מסודרים בצורה מחזורית. כלומר, אותה צורה חוזרת על עצמה שוב ושוב בכל מקום בגביש, כאילו היה מדובר בריצוף. מחזוריות זו מכתיבה סימטריה הנקראת "סימטרית הזזה" – כלומר, אם נזיז את האטומים בגביש לאורך מרחק מסוים, בכיוון הצירים בהם מתקיימת הסימטריה, נקבל את אותו מבנה גבישי בדיוק. לדוגמא, נסו לדמיין קו ישר אינסופי שעליו נמצאות נקודות במרחק של 5 ס"מ זו מזו. אם ניקח את כל הנקודות ונזיז אותן 5 ס"מ ימינה, הקו יראה זהה לחלוטין.

בנוסף למחזוריות זו של הגבישים קיימת בחלקם גם סימטריה של סיבוב: אפשר לקחת את הצורה הבסיסית שמרכיבה את הגביש, לסובב אותה, והיא תיראה בדיוק אותו דבר. למשל, ניתן לסובב את המשבצת של מרצפת ארבע פעמים, כל פעם רבע סיבוב, ובכל רבע סיבוב היא תיראה זהה. את המשושה של חלת דבש אפשר לסובב שש פעמים, ובכל שישית סיבוב כזה היא תיראה זהה.

קיום המחזוריות בגביש מגביל את הסימטריות האפשריות של סיבוב הגביש. ניתן להראות מתמטית כי בגביש מחזורי יכולות להיות סימטריות של חצי, שליש, רבע או שישית סיבוב בלבד. מובן שאם, למשל, קיימת סימטריה של שישית סיבוב, תהיה גם סימטריה של כפולות שלמות של שישית סיבוב. כלומר – סימטריה של שליש ושל חצי סיבוב. סימטריה של חמישית סיבוב אינה אפשרית. זו הסיבה שלא ניתן לרצף את המישור במרצפות מחומשות. עובדה זו הייתה ידועה במשך זמן רב.

איור 2: הגבישים השונים האפשריים בשני מימדים. לגבישים מספר 1, 2 ו – 3 יש סימטריה של חצי סיבוב. לגביש 4 סימטריה של שישית סיבוב (גם של שליש סיבוב ושל חצי סיבוב), ולגביש 5 סימטריה של רבע (וחצי) סיבוב.
התמונה מתוך אתר ויקיפדיה  

תגליתו של שכטמן עוררה חוסר אמון בקרב מדענים רבים. כיצד ייתכן שהגביש מציג סימטריה של חמישית סיבוב (או פעמיים עשירית סיבוב)? הרי סימטריה זו בלתי אפשרית מבחינה מתמטית.

לבסוף הובן שהתשובה לשאלה זו כבר קיימת – אולם לא נחשבה לרלוונטית לפיסיקה. משנות השישים של המאה העשרים חקרו מתמטיקאים ריצופים לא מחזוריים של המישור. בשנות השבעים גילה המתמטיקאי-פיסיקאי רוג'ר פנרוז משפחה של ריצופים של המישור בעזרת שני סוגי מרצפות שאינו חוזר על עצמו לעולם. ניתן לרצף מישור אינסופי על ידי שני סוגי מעוינים (אחד בעל זווית של °36 ואחד בעל זווית של °72). הריצוף אינו מחזורי, והמעוינים יוצרים צורות דמויות מחומש באזורים רבים (ראו איור 3). התגלית כי ריצופים כאלה אינם רק בגדר מוזרות מתמטית אלא יכולים להופיע בטבע בחומרים שונים הובילה למהפכה בתחום החומרים ולהגדרה מחדש של המצב המוצק. כיום ידועים חומרים רבים היוצרים דגם כזה והם מכונים "קווזי-גבישים". התבנית התמימה למראה שראה שכטמן תחת המיקרוסקופ האלקטרוני, הביאה לסערה ולבסוף חוללה מהפכה בכל תחום חקר החומרים והפיסיקה של המצב המוצק.

איור 3: ריצוף המישור על ידי שני סוגי מעוינים כפי שהתגלה על ידי פנרוז. (ויקיפדיה). שימו לב למבנים דמויי המחומש המופיעים בתמונה.
התמונה מתוך אתר ויקיפדיה

תודה לד"ר ראובן כהן מהמחלקה למתמטיקה באוניברסיטת בר – אילן על עזרתו בכתיבת המאמר.